Die folgende Content wurde von der Universität Erlangen-Nürnberg verwendet.

Der Ausgangspunkt mit Extrapolation kann man natürlich formal immer machen, aber ob es was bringt,

das heißt, ob wir am Schluss mit einer Lösung höherer Abroximationsgüte dasteht, das hängt wesentlich davon ab, ob eine Fehlerentwicklung vorliegt.

Eine Fehlerentwicklung als Verschärfung dessen, womit wir uns bisher immer beschäftigt haben, nämlich einer Konvergenzordnungsabschätzung.

Ein Fall jetzt bei Quadratur, wo wir eine solche Fehlerentwicklung haben, das ist eine der einfachsten Quadraturregeln,

das ist die zusammengesetzte Trapezregel, hier steht sie nochmal, man zerteilt das Intervall und ersetzt die Funktion durch die Stückweise linearen Spline und integriert diesen.

Das entspricht in unserem Falle einfach der impliziten Trapezregel oder dem Krenknicklsenverfahren, das fällt hier alles zusammen und wird dann entsprechend explizit, weil es ja keine Y-Abhängigkeit von F gibt.

Die Fehlerentwicklung ist hier die Euler-McLaurin-Summenformel, die wirklich eben sagt, wenn die zu integrierende Funktion glatt genug ist,

kann ich den Fehler, also den Abstand zwischen dem echten Integral und dem approximativen Integral als ein solches Polynom, jetzt nicht nur ein h, sondern sogar ein h² schreiben,

ich kann die Koeffizienten identifizieren und ich kann das so hoch treiben, wie mir die Glattei der Funktion vorgibt.

Also das sind hier schon optimale Voraussetzungen und darauf baut dann die Extrapolation auf, indem man eben jetzt hier konkret dieses th nicht nur für ein h auswertet,

sondern für eine ganze Sequenz von hs und aus diesen Werten das zugehörige Interpolationspolynom in h² aufbaut, bei 0 auswertet und auf diese Weise eine höhere Approximation bekommt.

Die wirkliche Arbeit steckt darin, dass eben nicht nur th auszuwerten ist, sondern auch th1, th2 und so weiter.

Wobei für diese Folgen von h Schritten gibt es verschiedene Regeln, man kann entweder einfach Stück für Stück weiter halbieren, das wäre der klassische Rombergansatz,

es gibt andere Folgen, die auf Bulleysch zurückgehen.

Wichtig ist dann von der Algorithmik her, das ist also alles nochmal zur Wiederholung der Summenformel,

zur Algorithmik ist einfach die Feststellung, es ist gar nicht nötig dieses Interpolationspolynom sozusagen als Funktion aufzubauen, uns interessierte nur der Wert bei 0.

Da gibt es generell ein Verfahren, wie man das bewerkstelligen kann, wie wert ich ein Interpolationspolynom an einer festen Stelle aus, das macht das Nevelverfahren oder Atkin-Nevelverfahren.

Die Formeln stehen nochmal hier und im Rombergfall, also in diesem Halbierungsfall, reduziert sich das auf dieses einfache Updateformel.

Das heißt, diese Nachbearbeitung der Werte, die wir hier machen müssen, das ist algorithmisch vernachlässigbar.

Der Aufwand steckt wirklich in der Berechnung in dieser Notation dann der ti0, das wären die Werte zu den verschiedenen hs

und auf denen baut man dann sukzessive aus den ti0, die ti1 und so weiter auf.

Wir hatten dann auch gesehen, wenn man sich dieses Tablo anschaut, dann kriegt man dann so höher, zum Teil kann man diese Zwischenwerte, die man da bekommt,

auch als höhere zusammengesetzte Newton-Kurzformeln interpretieren, also so sieht das Tablo nochmal aus.

Da muss man sich natürlich die Frage stellen, wie ist das mit dem Aufwand bei der Auswertung, kann man sozusagen alte Ergebnisse da recyceln,

das hängt ein bisschen von der Schrittweite ab und ist natürlich jetzt hier in dem Quadraturfall anders als im den jetzt uns interessierenden Fall.

Insofern müssen wir da vielleicht auch gar nicht mehr reinschauen.

Das ist das, was dann im Quadraturfall die Fehlerordnung ausmacht, man sieht wirklich, dass man immer sozusagen mit jedem Schritt weiter,

mit jedem k weiter eine h-Potenz in der Abschätzung gewinnt unter den Voraussetzungen, unter diesen Glatteilsvoraussetzungen.

Wenn man die nicht hat, kann man natürlich formal das Verfahren auch durchführen, man weiß aber nicht wirklich, ob man irgendetwas dadurch gewinnt.

Das müssen wir jetzt vielleicht nicht nochmal herleiten, wie sich diese Neville und Atkin Formeln da rechtfertigen mit der Quadratur,

das ist hier nochmal aufgenommen für diejenigen, die das noch nicht in der Einführung der Numerik gehört haben, um das gegebenenfalls sich da nochmal anzuschauen.

Wir gehen jetzt zurück zu der allgemeineren Fragestellung, die uns jetzt interessiert, wie ist das, wenn man das jetzt nicht auf numerische Quadratur,

auf ein F, was unabhängig ist von Y anwenden wollen, sondern wirklich auf eine richtige Anfangswertaufgabe.

Ups, andere Richtung.

Okay, gut, also was stehen?

Die allgemeine Begründung, das haben wir jetzt schon mehrfach ventiliert, dass wir hier eben eine Fehlerentwicklung brauchen, ähnlich zur Euler-McLaurin-Summe Formel und dann letztlich algorithmisch genauso verfahren können.

Hier steht nochmal begrifflich, das ist glaube ich eine ganz wesentliche begriffliche Unterscheidung, das womit wir uns die ganze Zeit beschäftigt haben, eben wie gesagt eine Konvergenzordnungsabschätzung.

Wir schauen uns nur an, was ist der führende Term in der Fehlerentwicklung, so es eine überhaupt gibt.

Wie es danach weitergeht, wissen wir nicht. Eine Fehlerentwicklung sagt uns zumindestens, wie dann der nächste Term in der Fehlerentwicklung ist und gibt uns dadurch die Chance, eben diesen führenden Term zu eliminieren.

Gut, ja, dann bei der Euler-McLaurin-Summe Formel haben wir gesehen, da ist das sogar eine Entwicklung in h², nicht nur in h.

Das hat was mit dieser Symmetrie der Formel zu tun, die wir da haben.

Es wäre die Frage, ist die Frage, können wir sowas hier auch wiederfinden im allgemeinen Anfangswertfall, also kriegen wir eventuell auch Entwicklungen in höheren, nicht nur in h, sondern in Potenzen von h.

Dann wäre das hier nochmal aufgeschrieben, das Z dritt halt dann an die Stelle der Potenz von h, hhochgamma, also weiß ich, ob es mehr als h² gesichert gibt.

Aber zumindestens das könnten wir hoffen, dass wir in gewissen Fällen sogar eine Entwicklung in h² haben.

Und dann gewinnen wir natürlich umso mehr, wenn wir dann einen Term eliminieren.

Dann überspringen wir, dann springen wir ja in zweier Schritten weiter, nicht nur in einer Schritten in der Ordnung des Verfahrens.

Also, wenn wir so eine Fehlerentwicklung haben, dann verfahren wir genau, wie wir es jetzt gerade nochmal uns bei der Quadratur angeschaut haben.

Wir wollen also, die Grundaufgabe ist immer gleich, wir wollen von hj zu hj plus eins gehen, wir wollen einen Schritt im Verfahren machen.

Das machen wir dadurch, dass wir in unserem Basisverfahren eben diesen Schritt machen.